เทคนิคการหาค่าตัวแปร a จากค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (Relative Minimum)
ในการทำโจทย์แคลคูลัส เรื่องค่าสุดขีด (Extrema) สิ่งสำคัญคือการเข้าใจขั้นตอนการหาจุดวิกฤต วันนี้ Mathonebaht จะพามาดูโจทย์ยอดฮิต:
โจทย์ข้อสอบจริง : กำหนดให้ \(f(x) = x^3 + 3ax^2 – 9a^2x + 5a\) โดยที่ a เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 0 แล้ว a มีค่าเท่าใด?
ขั้นตอนการหาคำตอบ
Step 1: หาจุดวิกฤต (Critical Points)
- ดิฟฟังก์ชัน f(x) เพื่อหา f'(x)
จับ f'(x) = 0 แล้วแก้สมการหาค่า x
\(\begin{aligned}f'(x) & = 3x^2 + 6ax – 9a^2 \\
3x^2 + 6ax – 9a^2& = 0\\
[3(x^2 + 2ax – 3a^2) & = 0\\
(x + 3a)(x – a)& =0\\
x &= -3a , x = a\end{aligned}\)
Step 2: ตรวจสอบค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ด้วยf”(x))
- ดิฟฟังก์ชัน f'(x) เพื่อหา f”(x) จะได้ f”(x) = 6x + 6a
- แทน x = -3a และ x = a ใน f”(x)
- เมื่อ c คือค่าวิกฤต ถ้า f”(c)<0 ให้ค่าสูงสุด หรือ f”(c)>0 ให้ค่าต่ำสุด
- แทน x=a : f”(a) = 6a + 6a=12a ได้ค่าต่ำสุด เพราะ 12a เป็นบวก
Step 3: แก้สมการหาค่า a
โจทย์บอกว่าค่าต่ำสุดคือ 0 ดังนั้น f(a) = 0
\(\begin{aligned}a^3 + 3a(a^2) – 9a^2(a) + 5a &= 0 \\
a^3 + 3a^3 – 9a^3 + 5a&= 0\\
-5a^3 + 5a &= 0\\
-5a(a^2 – 1)&= 0\\
a &= 0,1,-1 a\end{aligned}\)\)
แต่โจทย์ระบุว่า a ต้องเป็นจำนวนจริงบวก
คำตอบคือ a = 1
“พี่เชื่อว่าความเข้าใจที่ถูกต้อง จะช่วยลดเวลาในการเตรียมตัวได้มหาศาล ถ้าคลิปนี้ทำให้น้องๆ เห็นภาพชัดขึ้น พี่ก็อยากชวนมาฝึกมองโจทย์ให้ขาดไปด้วยกันทั้งเทอมครับ “
เพื่อให้พี่ได้พัฒนาเนื้อหาคุณภาพสูงและคงราคาที่ทุกคนเข้าถึงได้แบบนี้ต่อไป
น้องๆ สามารถร่วมสนับสนุนระบบและทีมงานได้เพียง 390 บาท (เนื้อหา+โจทย์ฝึกทริกประมาณ 40 คลิป โจทย์ประมาณ 250-300 ข้อ สัดส่วน ตามแผนภูมิวงกลม)
หรือ สนใจโจทย์+เทคนิคที่ลึกขึ้นเฉพาะบทลิมิตและแคลคูลัส เพียง 149 บาท (เนื้อหา+โจทย์ฝึกทริกประมาณ 18 คลิป โจทย์ประมาณ 250-300 ข้อ สัดส่วนตามแผนภูมิวงกลมด้านล่าง)
หรือมุ่งตะลุยโจทย์ข้อสอบจริงแพทย์ วิศวะ (โจทย์เน้นทริกเร็ว 400 ข้อ) เพียง 390 บาท
เพื่ออนาคตของเยาวชนไทยที่มีโอกาสทางการศึกษาที่เท่าเทียมกันครับ”
