โจทย์ความน่าจะเป็นและสามเหลี่ยมเมเนลอส (คณิต ม.3 เทอม2)
🚀 เทคนิคพื้นฐานที่ต้องรู้ : สูตรจัดกลุ่ม (\(C_{n,r}=\frac{n!}{(r!)(n-r)!}\))
จุดนี้เด็กมักจะลืม การจัดกลุ่ม ถ้าเป็นคน คือเลือกมายืนรวมๆ กัน หรือทำอะไรเหมือนๆ กัน ยังไม่เรียงแถวหรือทำอะไร แต่ถ้าเป็นสิ่งของก็เอามากองๆ ไว้ยังไม่ทำอะไรเหมือนกัน ต้องใช้สูตร (\(\frac{n!}{(r!)(n-r)!}\))
- ตัวอย่าง: มีคน 5 คน เลือกมา 3 คน เพื่อเป็นกรรมการ จะเลือกได้ \(C_{5,3}=\frac{5!}{(3!)(5-3)!}\)=10 วิธี (n=5 , r=3 มี 5 เลือก 3)
โจทย์ข้อสอบจริง:
โจทย์: มีชาย 6 คน หญิง x คน สุ่มเลือกกรรมการ 2 คน ถ้าความน่าจะเป็นที่ได้ชายทั้งคู่คือ \(\frac{1}{8} \) จงหาความน่าจะเป็นที่ได้หญิงทั้งคู่?
โจทย์: ให้หาความน่าจะเป็นที่ได้หญิงทั้งคู่?
Step 1: หาจำนวนผู้หญิง (x)
-
จำนวนวิธีเลือกชาย 2 คน จาก 6 คน:\(C_{6,2}=\frac{6!}{(2!)(6-2)!}=15\))
-
จำนวนวิธีทั้งหมด n(s) (ชาย + หญิง): \(C_{x+6,2}=\frac{(x+6)!}{(2!)(6-2)!}\))
-
ตั้งสมการ: \(\begin{aligned} \frac{{C_{6,2}}}{C_{x+6,2}}&=\frac{1}{8}\\ \frac{15}{\frac{(x+6)!}{(2!)((x+6)-2)!}}&=\frac{1}{8}\\ \frac{15}{\frac{(x+6)!}{(2!)((x+4)!}}&=\frac{1}{8}\\ \frac{(2!)(15)}{(x+6)(x+5)}&=\frac{1}{8}\\ (16)(15)&=(x+6)(x+5)\\
x&=10\end{aligned}\) -
ดังนั้น จำนวนคนทั้งหมดคือ 16 คน ผู้หญิง (x) = 10 คน
Step 2: หาความน่าจะเป็นที่ได้หญิงคู่
-
จำนวนวิธีเลือกหญิง 2 คน จาก 10 คน:\(C_{10,2}=\frac{10!}{(2!)(10-2)!}=45\))
-
จำนวนวิธีเลือกคนทั้งหมด 2 คน จาก 16 คน:\(C_{16,2}=\frac{16!}{(2!)(16-2)!}=120\)
- ความน่าจะเป็นที่จะเลือกกรรมการ 2 คน เป็นหญิงทั้งสอง &=\(\frac{45}{120}=\frac{3}{8}\)
🟡 ข้อที่ 10: โจทย์เรขาคณิต (Menelaus’ Theorem)
โจทย์: ให้ BD:BC = 1:3 และ CE:CA = 1:3 จงหาอัตราส่วน AF:FD = 1:3
เทคนิค: ใช้ Menelaus’ Theorem บนสามเหลี่ยม \(ADC\) โดยมีเส้นตรง \(B-F-E\) ตัดผ่าน \(\frac{AF}{FD} \times \frac{DB}{BC} \times \frac{CE}{EA} = 1\)
แทนค่าตามสัดส่วน:
-
จาก BD:BC = 1:3 จะได้ \(\frac{DB}{BC} = \frac{1}{3}\)
-
จาก CE:CA = 1:3 แสดงว่าถ้า CE = 1 แล้ว CA = 3 ดังนั้น EA = 2 จะได้ \(\frac{CE}{EA} = \frac{1}{2}\)
-
\(\frac{AF}{FD} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = 1\)
-
\(\frac{AF}{FD} \times \frac{1}{6} = 1 \rightarrow \frac{AF}{FD} = \mathbf{\frac{6}{1}}\)
-
คำตอบ: อัตราส่วนคือ 6:1 ✅
“พี่เชื่อว่าความเข้าใจที่ถูกต้อง จะช่วยลดเวลาในการเตรียมตัวได้มหาศาล ถ้าคลิปนี้ทำให้น้องๆ เห็นภาพชัดขึ้น พี่ก็อยากชวนมาฝึกมองโจทย์ให้ขาดไปด้วยกันทั้งเทอมครับ “
เพื่อให้พี่ได้พัฒนาเนื้อหาคุณภาพสูงและคงราคาที่ทุกคนเข้าถึงได้แบบนี้ต่อไป
น้องๆ สามารถร่วมสนับสนุนระบบและทีมงานได้เพียง 390 บาท (เนื้อหา+โจทย์ฝึกทริกประมาณ 40 คลิป โจทย์ประมาณ 300-350 ข้อ สัดส่วน ตามแผนภูมิวงกลม)
หรือ สนใจโจทย์+เทคนิคที่ลึกขึ้นเฉพาะบทลิมิตและแคลคูลัส เพียง 149 บาท (เนื้อหา+โจทย์ฝึกทริกประมาณ 18 คลิป โจทย์ประมาณ 150-180 ข้อ สัดส่วนตามแผนภูมิวงกลมด้านล่าง)
หรือมุ่งตะลุยโจทย์ข้อสอบจริงแพทย์ วิศวะ (โจทย์เน้นทริกเร็ว 400 ข้อ) เพียง 390 บาท
เพื่ออนาคตของเยาวชนไทยที่มีโอกาสทางการศึกษาที่เท่าเทียมกันครับ”
พี่ๆ นักศึกษาแพทย์ ทันตะ วิศวะ จุฬา ศิริราช รามา ที่เรียนสไตล์ MathOnebaht 👉
คอร์สด้านล่าง ไม่ใช่แค่สรุป แต่คือคอร์สเต็ม +โจทย์สอบจริง